Bonsoir à tous ! Est ce que quelqu'un pourrait m'aider pour cet exercice en mathématiques Merci d'avance et bonne soirée à tous

Réponse :

1) a) calculer  u1 et u2

u1 = 2u0/(2+7u0) = 2 x 1/2)/(2 + 7 x 1/2) = 2/11

u2 = 2u1/(2+7u1) = 2 x 2/11)/(2 + 7 x 2/11) = 4/36 = 1/9

b) montrer que (un) n'est ni arithmétique ni géométrique

    u1 - u0 = 2/11 - 1/2 = - 7/22

    u2 - u1 = 1/9 - 2/11 = - 7/99

u1 - u0 ≠ u2 - u1   donc   (un) n'est pas arithmétique

u1/u0 = 2/11/1/2 = 4/11

u2/u1 = 1/9/2/11 = 11/18

u1/u0 ≠ u2/u1    donc  (un) n'est pas géométrique  

2) un ≠ 0  ;  vn = (2 - un)/un

a) montrer que (vn) est une suite arithmétique

vn+1 = (2 - un+1)/un+1

       = (2 -  (2un/(2+7un))/2un/(2+7un)

       = (2(2+7un) - 2un)/2un

       = (4 + 14un - 2un)/2un

       = ((4 - 2un) + 14un)/2un

       = 2(2 - un)/2un  + 14un/2un

       = ((2 - un)/un) + 7

vn+1 = vn + 7   cqfd    (vn) est une suite arithmétique de raison r = 7

et de premier terme  v0 = (2 -u0)/u0 = (2 - 1/2)/1/2 = 3

b) exprimer vn en fonction de n

vn = v0 + nr = 3 + 7n

3) a) montrer que un = 2/(7n + 4)

vn = (2 - un)/un   ⇔  vn x un = 2 - un  ⇔ vn x un + un = 2

⇔ un(1 + vn) = 2   ⇔ un(1 + 3 + 7n) = 2   ⇔ un = 2/(4+7n)

b) n ∈ N;  un = f(n)   donner l'expression de f    définie sur [0 ; + ∞[

       f(x) = 2/(7x + 4)

c)  f est une fonction quotient dérivable sur [0 ; + ∞[ et sa dérivée f ' est  f '(x) = - 14/(7 x + 4)² < 0   donc  f est décroissante sur [0 ; + ∞[  donc la suite (un) est décroissante sur N  

Explications étape par étape :