Exercice 2: Soit fune fonction définie sur l'intervalle [0,7; 6]. On suppose que fest dérivable sur [0,7;6]. La fonction dérivée de la fonction fest notée f'. P

Réponse :

Soit fune fonction définie sur l'intervalle [0,7; 6].

On suppose que fest dérivable sur [0,7;6].

La fonction dérivée de la fonction fest notée f'.

Partie A. Étude graphique

On a représenté la fonction f sur le graphique ci-contre.

1. La tangente au point d'abscisse 3 à la courbe représentative de f

passe par les points A(3; 4) et B(4;0). Calculer f'(3).

f '(3) = tan α = a = (0 - 4)/(4 - 3) = - 4

2. D'après le graphique ci-contre,

donner le signe de f'(x) suivant les valeurs de x appartenant à l'intervalle [0,7; 6].

f '(x) ≤ 0  sur l'intervalle [0.7 ; 1]U[2 ; 6]

f '(x) > 0 sur l'intervalle ]1 ; 2{

Partie B. Étude théorique

On admet que la fonction f est définie sur [0,7; 6] par :

f(x)=(x-2x + 1)e-2x+6

1.Démontrer que pour tout x dans [0,7; 6], on a f(x) ≥ 0.

f(x)=(x²-2x + 1)e-2x+6   or e⁻²ˣ⁺⁶ > 0  et  x² - 2 x + 1 = (x - 1)² ≥ 0

donc (x²-2x + 1)e-2x+6 ≥ 0  donc f(x) ≥ 0

2. Montrer que pour tout x dans [0,7; 6], on a f'(x)=(-2x²+ 6x-4)e-2x+6

f(x)=(x²-2x + 1)e-2x+6

f est le produit de deux fonctions dérivables sur R  donc dérivables sur [0.7 ; 6]  et sa dérivée f ' est  :

f '(x) = (uv)' = u'v + v'u

u(x) = x² - 2 x + 1  ⇒ u'(x) = 2 x - 2

v(x) = e⁻²ˣ⁺⁶  ⇒ v'(x) = - 2e⁻²ˣ⁺⁶  

donc f '(x) = (2 x - 2)e⁻²ˣ⁺⁶  + (- 2(x² - 2 x + 1))e⁻²ˣ⁺⁶  

                = (2 x - 2 - 2 x² + 4 x - 2)e⁻²ˣ⁺⁶

                = (- 2 x² + 6 x - 4)e⁻²ˣ⁺⁶  

3. Étudier le signe de la fonction f' sur l'intervalle [0,7; 6]

 f '(x) =  (- 2 x² + 6 x - 4)e⁻²ˣ⁺⁶   or  e⁻²ˣ⁺⁶ > 0  donc le signe de f'(x) dépend du signe de - 2 x² + 6 x - 4 = 2( - x² + 3 x - 2)

Δ = 9  - 8 = 1 > 0  ⇒ 2 racines ≠

x1 = - 3 + 1)/- 2 = 1

x2 = - 3 - 1)/-2 = 2

     f '(x) ≤ 0  sur l'intervalle [0.7 ; 1]U[2 ; 6]

     f '(x) > 0  sur l'intervalle ]1 ; 2[

Tableau de variation

      x   0.7                   1                     2                     6

   f(x)   f(0.7) →→→→→→ f(1) →→→→→→→ f(2) →→→→→→→→ f(6)

                décroissante    croissante       décroissante

et dresser le tableau de variation def sur [0,7; 6].

4. Vérifier le résultat du 1) de la partie A puis déterminer l'équation réduite de la tangente au point A d'abscisse 3

   l'équation de la tangente à la courge de f au point d'abscisse 3  est :

         y = f(3) + f '(3)(x - 3)

f '(3) = (- 2* 3² + 6*3 - 4)e^0 = - 4

f(3) = (3² - 2*3 + 1)e^0 = 4

y = 4 - 4(x - 3) = 4 - 4 x + 12 = - 4 x + 16

les résultat de 1) A  et B  sont identiques

Explications étape par étape :