Salut, j’aurai besoin d’un coup de main sur ce dm de maths niveau terminale svp ;)

Réponse :

pour tout réel α et pour tout réel positif x,   fα(x) = x - α√x

1) étudier le cas où α = 0

pour  α = 0  on a  f0(x) = x    définie sur [0 ; + ∞[

la fonction f0 est une fonction linéaire croissante sur [0 ; + ∞[

     x                         0                                         + ∞

signe de f'0(x)                                +

sens de variation    0 →→→→→→→→→→→→→→→→→ + ∞

                                          croissante

2) on suppose  α ≠ 0

a) étudier la dérivabilité de fα en 0

   τ(h) = (fα(0+h) - f(0))/h = (h - α√h - 0)/h

          = (h - α√h)/h

          = h(1 - α√h/h)h

          = 1 - (α√h)/h

          = 1 - (α√h *√h)/h√h

          = 1 - αh/h√h

donc τ(h) = 1 - α/√h

lim τ(h) = lim (1 - α/√h)  or  si  α > 0 ⇒ lim α/√h  = + ∞  

h→0         h→0                                        h→0

et lim 1  = 1    donc  par addition  lim(1 - α/√h)  = - ∞

    h→0                                           h→0

si  α < 0  ⇒ lim(1 - α/√h) = + ∞

en conclusion  la fonction fa n'est pas dérivable en 0

b) déterminer la limite de fα en + ∞

lim fα(x)  = lim(x - α√x)

x→ + ∞        x→ + ∞

si α > 0 ⇒  lim(x - α√x)  = ∞ - ∞    F.I

                  x→ + ∞

fα(x) = x - α√x = x(1 - (α√x)/x)

        = x(1 - (α√x * √x)/x√x

        = x(1 - α x/x√x)

        = x(1 - α/√x)    or  lim (- α/√x) = 0

                                     x → + ∞        

et lim x = + ∞   donc par produit  lim fα(x) = + ∞

   x→+ ∞                                         x→ + ∞

si  α < 0  ⇒ lim (x - α√x)     or  lim x = + ∞  et lim (- α√x) = + ∞

                   x → + ∞                   x→ + ∞             x→ + ∞

Donc par addition  lim fα(x) = + ∞

                                x → + ∞

donc pour  tout réel α   la  lim fα(x) = + ∞

                                            x → + ∞

et démontrer que Cfα  admet une branche parabolique de direction

asymptotique  y = x   donc il faut démontrer que

lim fα(x)/x = 1  et  lim fα(x) - x = ∞

x → + ∞                  x → + ∞

lim fα(x)/x = lim (x - α√x)/x  

x → + ∞        x → + ∞

or  fα(x)/x = (x - α√x)/x  = x(1 - α√x/x)/x = 1 - α√x/x

= 1 - (α√x * √x)/x√x = 1 - α x/x√x = 1 - α/√x

lim (- α/√x) = 0    donc par addition lim (1 - α/√x) = 1

x → + ∞

donc  lim fα(x)/x = 1

          x→ + ∞

lim fα(x) - x  = lim (x - α√x) - x  = lim (- α√x)  = ± α

x→ + ∞             x → + ∞                  x → + ∞

3) on suppose  α > 0

(a) donner le tableau de variation de fα

fα(x) = x - α√x

fα est une fonction somme dérivable  sur ]0 ; + ∞[ et sa dérivée f 'α est

f 'α(x) = 1 - α/2√x = (- α + 2√x)/2√x     or  2√x > 0  donc le signe de f 'α(x)

dépend du signe de  - α + 2√x

- α + 2√x = 0  ⇔ √x = α/2   ⇔ (√x)² = α²/4   ⇔ x = α²/4

          x    0                       α²/4                      + ∞

    f 'α(x)   ||            -            0              +

variations  0 →→→→→→→→→fα(α²/4) →→→→→→→→ + ∞

de fα(x)          décroissante            croissante

b)   α0 = fα(α²/4) = α²/4 - α√(α²/4) = α²/4 - α²/2 = - α²/4

Explications étape par étape :