et sur le que 2. a) Montrer que les nombres 3, 9 et 27 pris dans cet ordre, sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique. b) Démontrer que 729 est un t

Bonjour à toi aussi !!

2. a) Montrer que les nombres 3, 9 et 27 pris dans cet ordre, sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique.

3 x 3 = 9

9 x 3 = 27

b) Démontrer que 729 est un terme de cette suite et préciser son rang sachant que son 1 terme est 3.

3 x 3 = 9

9 x 3 = 27

27 x 3 = 81

81 x 3 = 243

243 x 3 = 729

729 est 6eme sur la liste.

c) Calculer la somme S = 3 + 9+27++729

Incompréhensible.

Réponse :

Bonsoir

Explications :

2. a) Montrer que les nombres 3, 9 et 27 pris dans cet ordre, sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique.

soit U₀ = 3 le premier terme de la suite de nombres 3,9,27

soit U₁ = 9 le second terme de la suite de nombres 3,9,27

soit U₂ = 27 le troisième terme de la suite de nombres 3,9,27

On a donc

U₀ = 3

U₁ = 9 = 3²

U₂ = 27 = 3³

Pour passer de U₀ à U₁, je multiplie par 3

c'est a dire U₁ = 3 × 3 = 3 × U₀

Pour passer de U₂ à U₃, je multiplie par 3 c'est a dire

U₂ = 3 × 9 = 3 × U₁ = 3 × 3 × 3 = 3³

On a donc une suite géométrique avec une raison  3

donc Uₙ = U₀ × 3ⁿ

b) Démontrer que 729 est un terme de cette suit et préciser son rang sachant que son 1 terme est 3.

729 = 3 × 243

243 = 3 × 81

81 = 9 × 9

9 = 3 × 3

On a donc

729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁶ = 3 × 3⁵

729 est bien un terme de la suite car on a

Uₙ = U₀ × 3ⁿ avec U₀ = 3

et donc U = U₀ × 3⁵ avec U₀ = 3 et

le rang du terme 729 est n = 5

3, 9, 27 , 81, 243 , 729

c) Calculer la somme S = 3 + 9+27+ ...+729

La formule de la somme géométrique avec U₀ = 3 est

Sₙ = U₀ ( 1 - qⁿ⁺¹) /(1 - q) avec pour raison q

ici q = 3 et U₀ = 3

et n = 5 car 729 a pour rang n = 5

on a donc

S = 3 ( 1 - 3⁶)/ ( 1 - 3)

S = 3 (1 - 3⁶)/(1 -3) = 3(1- 729)/ ( -2)

S = 3 ( - 728)/ (- 2)

S =  3 × 364

S = 1092

Vérification

           3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + 3⁶ = 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 = 1092

rang    U₀  U₁    U₂   U₃   U₄   U₅