Bonsoir la communauté, Qui peut m'aider pour ce devoir merci.​

Bonjour,

1 ) lim(x → -∞) exp(x) = 0

D'où lim(t → +∞) 15 exp(-0,8t) = 0

On en déduit que lim(t → +∞) 15 exp(-0,8t) + 5 = 5

2 ) (Cf) admet donc une asymptote d'équation y = 5

3) exp(x) > 0 pout tout x dans IR

Donc f'(t) < 0 pour tout t > 0

f est donc strictement décroissante sur son domaine de définition,

x __| 0___________+∞ |

f(x)_| 20 Décroissante 5 |

4 ) Non puisque v(t) > 5

5 a ) F'(t) = -18,75 * (-0,8) exp(-0,8t) + 5

F'(t) = 15 exp(-0,8t) + 5

F est bien une primitive de f

b ) Il y a une erreur dans l'énoncé : t₀ doit être en bas du signe intégrale et t₁ en haut.

d = F(t₁) - F(t₀) = -18,75 exp(-0,8) + 5 + 18,75 exp(0) - 0

d = -18,75 exp(-0,8) + 5 + 18,75 = 15,33 m

Réponse :

soit   f(t) = 15e⁻⁰⁸t + 5   définie sur [0 ; + ∞[

1) démontrer que lim f(t) = 5

                            t → + ∞

     lim f(t) =  lim (15e^-0.8t  + 5)

     t → + ∞     t → + ∞

on pose  T = - 0.8 t

donc  lim e^T = 0   et par produit  lim 15e^T = 0

          T → - ∞                                   T → - ∞

et par somme  lim (15 (C) e^T + 5) = 5

                         T→ - ∞

donc  lim f(t) = 5

          t → + ∞

2) en déduire que la courbe (C) admet une asymptote dont -on donnera une équation

puisque  la   lim f(t) = 5  (constante)  donc la courbe (C) admet une  

                     t → + ∞

une asymptote horizontale  d'équation  f(t) = 5

3) on admet que, pour tout réel  x ∈ [0 ; + ∞[

On a : f '(t) = - 12e^-0.8t;    dresser le tableau de variation de f sur

[0 ; + ∞[

f est une fonction somme dérivable sur [0 ; + ∞[  et sa dérivée f '

est  f '(t) = - 12e^-0.8t;   or   e^-0.8t > 0  et  - 12 < 0  donc   - 12e^-0.8t < 0

⇒ f '(t) < 0  donc   f (t) est décroissante sur  [0 ; + ∞[

     t              0                      + ∞

   f '(t)                         -

variation      20 →→→→→→→→→→ 5  

de f(t)                  décroissante  

4) le système de freinage permet-il au chariot de s'arrêter

   on écrit  f(t) = 0  ⇔  15e^-0.8t + 5 = 0  ⇔  15e^-0.8t = - 5   pas de solutions car  15e^-0.8t > 0  donc le système de freinage ne permet pas au chariot de s'arrêter

5) soit  F(t) = - 18.75e^-0.8t + 5 t  définie sur [0 ; + ∞[

a) vérifier que la fonction F est une primitive de la fonction f sur [0 ; + ∞[

     F est une primitive de f   ⇔ F' (t) = f(t)

F '(t) = - 18.75 * (- 0.8)e^-0.8t  + 5  = 15e^-0.8t + 5 = f(t)

b)  on admet que la distance d, exprimée en m parcourue par le chariot entre les instants  t0 et t1  est donnée par :

                        t1                t1  

                 d = ∫ f(t)dt =  |F(t)|  = F(t0) - F(t1)

                       t0                   t0          

d =  F(t1) - F(t0)  = - 18.75e⁻⁰⁸ + 5*1 - (- 18.75e⁰ + 5*0

                         = - 8.4249 + 5 + 18.75

   d ≈ 15.33 m                          

Explications étape par étape :