Bonjour, j’ai besoin de votre aide svp. Merci d’avance. Démontrer que la somme des cubes de trois entiers relatifs consécutifs est divisible par 9.

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour,

Voici la réponse en pièce-jointe !

En espérant t'avoir aidé, n'hésite pas à poser des questions si besoin.

2bonjour

                       (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

                        (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

soient trois entiers consécutifs     n - 1   ;   n   ;   n + 1

et S la somme de leurs cubes

S = (n - 1)³ + n³ + (n + 1)³

S = n³ - 3n² + 3n -1  +  n  +  n³ + 3n² + 3n + 1

S = 3n³ + 6n

S = 3n(n² + 2)

                           S = 3n(n² + 2)      S est divisible par 3

on considère le produit n(n² + 2)

1er cas

       n est multiple de 3 ;     n = 3k     k entier

                        S est divisible par 9

2e cas

        n est (multiple de 3) + 1 ;  n = 3k + 1

        n² + 2 = (3k + 1)² + 2 = 9k² + 6k + 1 + 2

                                          = 9k² + 6k + 3

                                          = 3(3k + 2k + 1)

 n² + 1 est multiple de 3

                           S est divisible par 9

3e cas

     n est (multiple de 3 + 2) ;   n = 3k + 2

          n² + 2 = (3k + 2)² + 2 = 9k² + 12k + 4 + 2

                                             = 9k² + 12k + 6

                                             = 3(3k² + 6k + 2)

                           S est divisible par 9