Soit la fonction numérique de variable réelle x définie sur R par g(X)= (x-2)e^x-1 -1 Calculer les limites de g quand x tend vers +oo et vers -oo ​

Bonjour,

[tex]1) \: \: lim_{x - > + \infty }(x - 2) {e}^{x - 1} - 1[/tex]

On a :

[tex]lim_{x - > + \infty }(x - 2) = + \infty [/tex]

[tex]et \: \: lim_{x - > + \infty } {e}^{x - 1} = + \infty [/tex]

[tex]donc \: lim_{x - > + \infty }(x - 2) {e}^{x - 1} - 1 = + \infty [/tex]

[tex]2) \: \: lim_{x - > - \infty }(x - 2) {e}^{x - 1} - 1[/tex]

On a :

[tex]lim_{x - > - \infty }(x - 2) = - \infty [/tex]

[tex]et \: \: lim_{x - > - \infty } {e}^{x - 1} = 0[/tex]

Ainsi par croissance comparée on trouve :

[tex] lim_{x - > - \infty }(x - 2) {e}^{x - 1} = 0[/tex]

[tex]donc \: lim_{x - > - \infty }(x - 2) {e}^{x - 1} - 1 = - 1[/tex]

Réponse :

Explications étape par étape :

■ g(x) = (x-2)*e^(x - 1) - 1

■ tableau :

     x --> -∞    -100    -10       0        1      2      2,28       10        +∞

g ' (x) ->           négative                 0    positive

 g(x) --> -1        -1       -1   -1,736    -2      -1         0      64824    +∞

■ dérivée g ' (x) = e^(x-1 + (x-2)*e^(x-1) = (x-1)*e^(x-1)

  on constate bien que la dérivée est nulle pour x = 1 .

■ Limite pour x tendant vers +∞ :

   Lim g(x) = Lim x*e^x - 1

                 or Lim x*e^x = +∞

                  donc Lim g(x) = +∞ .

■ Limite pour x tendant vers -∞ :

   Lim g(x) = Lim x/[ e^(-x) ] - 1

                 or Lim x/[ e^(-x) ] = 0

                 donc Lim g(x) = -1 .

■ remarque :

   la droite horizontale d' équation y = -1

   est une asymptote à gauche pour

   la représentation graphique de la fonction g

    ( qui reste SOUS l' asymptote ! )