f(x)=|2x+1|-x-|2x-1| Le domaine de définition et montrer q’elle est impaire Écrire sans valeur absolue Donner le tableau de variation Merci

bonjour

1) Le domaine de définition    D = R

2) montrer qu’elle est impaire

     f(-x) = |-2x + 1| - (-x) - |-2x - 1|            //  -2x + 1 et 2x - 1 sont opposés

           = |2x - 1| + x - |2x + 1|                  //    ils ont même valeur absolue

           = - |2x + 1| + x + |2x - 1|               //                de même pour

           = - [ |2x + 1| - x - |2x - 1| ]             //            -2x - 1 et 2x + 1

           = - f(x)

pour tout x ∈ R  on a   -x ∈ R    et    f(-x) = - f(x)

c'est la définition d'une fonction impaire

3)

Écrire sans valeur absolue

si 2x + 1 >0 soit x > -1/2   alors |2x + 1| = 2x +1

si 2x + 1 < 0 soit x < -1/2  alors |2x + 1| = opposé de 2x + 1 = -2x - 1

on fait de même pour 2x - 1

x                                      -1/2                           1/2

|2x + 1|        -2x - 1                       2x + 1                        2x + 1

|2x - 1|        -2x + 1                       -2x + 1                       2x - 1

• pour x ∈ ]-∞ ; -1/2]       f(x) = -2x - 1 - x - (-2x + 1) =

                                              = -2x - 1 - x + 2x - 1

                                        f(x) = -x - 2

• pour x ∈ ]-1/2 ; 1/2]        f(x) = 2x + 1 - x - (-2x + 1)

                                               = 2x + 1 -x + 2x -1

                                         f(x) = 3x

• pour x ∈ ]1/2 ; +∞[         f(x) = 2x + 1 - x - (2x - 1)

                                                = 2x + 1 - x - 2x + 1

                                          f(x) = -x + 2

4)

Donner le tableau de variation  

x                           -1/2                        0                      +1/2

-x - 2        ↘              ////////////////////////////////////////////////////////////////

3x    /////////////////////                            ↗                        ////////////////

-x + 2 ///////////////////////////////////////////////////////////////////                 ↘

x         -∞              -1/2                    0                      +1/2                      +∞

f(x)      +∞                                                                3/2

                     ↘                              ↗                                          ↘

                              -3/2                                                                         -∞