soit la fonction f(x) =2x+3/x-2. a) etudier les variation f et tracer la courbe (cf) b) determiner l'equation de la tangente au point xo=0 ​

bonjour

 f(x) = (2x+3)/(x-2)  

1)

ensemble de définition

le dénominateur ne doit pas s'annuler

  D = R - {2}

 f est définie sur les intervalles  ]-∞ ; 2[   et   ]2 ; +∞[

2)

dérivée

(u/v)' = (u'v-v'u)/v²

u : 2x + 3           u' : 2

v : x - 2                  v' : 1

f'(x) = [2(x - 2) - (2x + 3)] / (x - 2)²

     = (2x - 4 - 2x - 3)/(x - 2)²

    = -7/(x - 2)²  

f'(x) < 0 sur D

3)

tableau des variations

    x       -∞                     2                         +∞

f'(x)                  -             ||             -

f(x)        2        ↘      -∞  ||  +∞        ↘        2

quand x -> ± ∞    f(x) a même limite que 2x/x  soit 2

quand x -> 2⁺    le numérateur -> 7, le dénominateur -> 0⁺

                          f(x) -> + ∞

quand x -> 2⁻      f(x) -> -∞  

4)

représentation graphique

les asymptotes de l'hyperbole sont les droites d'équations

   x = 2     et     y = 2

(il faut les placer sur le graphique que l'on construit à l'aide de quelques points)

5)

tangente au point d'abscisse 0

f(0) = -3/2

tangente en A(0 ; -3/2)

 f'0) = -7/4

cette équation est de la forme :  y = f(0) + f′(0)(x - 0) .

                                                     y = -3/2 + (-7/4)x

(la tangente à la courbe représentative d'une fonction f au point d'abscisse "a" a pour équation: y = f(a) + f′(a)(x - a) ).