bonjour svp j'ai besoin d'aide dans cet exercice de math . Merci d'avance

Bonjour

On considère la fonction f qui à x associe

[tex] \sqrt{ \frac{x}{x - 2} } [/tex]

Domaine de définition :

x/x-2 > 0 et x - 2 ≠ 0

x > 0 et x-2 > 0 ou x < 0 et x -2 < 0 et x ≠ 2

x > 0 et x > 2 ou x<0 et x < 2

x > 2 ou x < 2

Donc Df = ] -oo ; 2 [ U ] 2 ; +oo [

Sens de variation :

f est dérivable si √x/x-2 ≠ 0

x / (x-2) ≠ 0

x ≠ 0 car x ≠ 2

Donc f est dérivable sur Df' = ] -oo ; 0 [ U ] 0 ; 2 [ U ] 2 ; +oo [

f'(x) =

[tex] \frac{ \frac{x - 2 - x}{(x - 2) {}^{2} } }{2 \sqrt{ \frac{x}{x - 2} } } = \frac{ - 1}{(x - 2) {}^{2} \sqrt{ \frac{x}{x - 2} } } [/tex]

Or comme x ≠ 2, (x-2)² > 0

√ x / x-2 > 0 car x ≠ 0

-1 < 0

donc pour tout x € Df', f'(x) < 0

f est strictement décroissante

Ensuite tu fais un tableau de variations et tu regardes si pour chaque image f(x) > 1, il existe un antécédent x > 2