Devoir maison Bonjour j’ai vraiment besoin je n’ y arrive pas je suis désespéré ( l’ exercice est sur la photo )

Réponse :

a) montrer que la suite (tn) est une suite arithmétique dont vous précisez

la raison et le terme initial

pour tout entier naturel n,  tn = 3/2) n - 21/4

tn+1 = 3/2)(n+1) - 21/4

       = 3/2) n + 3/2 - 21/4

       = ((3/2) n - 21/4) + 3/2

       = tn + 3/2

donc  tn+1 = tn + 3/2    CQFD

la raison r = 3/2  et le terme initial  t0 = - 21/4

b) en déduire l'expression de t0 + t1 + .....+ tn  en fonction de n

                     t0 + t1 + .....+ tn  = (t0 + tn)(n + 1)/2

t0 = - 21/4  et  tn = t0 + rn = - 21/4 + 3n/2)

(- 21/4 - 21/4 + 3n/2)(n + 1)/2

(- 21/2 + 3 n/2)(n + 1)/2 = [- 21/2) n - 21/2 + 3/2) n² + 3/2) n]/2

= (- 9 n + (3/2) n² - 21/2)/2

= 3/4) n² - 9/2) n - 21/4

c) après avoir reconnue la nature de la suite (wn) donner l'expression de  w0 + w1 + .......+ wn en fonction de n

wn = 25/4(1/3)ⁿ  est une suite géométrique de raison q = 1/3 et de terme initial  w0 = 25/4

donc w0 + w1 + ......+ wn = w0(1 - (1/3)ⁿ⁺¹)/(1 - 1/3)

= 25/4(1 - 1/3ⁿ⁺¹)/2/3

= 3 x 25/4 - 3/3ⁿ⁺¹)/2 = 3 x 25/8 - 1/2 x 1/3ⁿ) = 75/4 - 1/2 x 1/3ⁿ

d)  conclure  alors en donnant l'expression de Sn en fonction de n

Sn = u0 + u1 + ..... + un

     = (w0 + t0) + (w1+t1) + ........+ (wn + tn)

     = (w0 + w1 + ......+ wn) + (t0 + t1 + ......+ tn)

     = 75/4 - 1/2 x 1/3ⁿ + 3/4) n² - 9/2) n - 21/4

      = 54/4 - 1/2 x 1/3ⁿ + 3/4) n² - 9/2) n

Explications étape par étape :