BONJOUR. x et y sont des nombres positifs. Dans le triangle ABC rectangle en B, on considère la hauteur issue du sommet B dont le pied de la hauteur est le poin
Mathématiques
mama23h13
Question
BONJOUR.
x et y sont des nombres positifs. Dans le triangle ABC rectangle en B, on considère la hauteur issue du sommet B dont le pied de la hauteur est le point H. Le segment [BH] est perpendiculaire au côté [AC] tel que AH = x et HC = y. On se propose dans cet exercice de calculer la longueur BH et plus précisément de déterminer une expression littérale de la longueur BH en fonction des nombres x et y.
1) Exprimer BH² en fonction de x et AB². Justifier la réponse.
2) Exprimer BH² en fonction de y et BC². Justifier la réponse.
3) En déduire une expression de 2BH².
4) Exprimer AB² + BC² en fonction de x et y.
5) Conclure et donner une expression littérale de BH en fonction de x et de y.
x et y sont des nombres positifs. Dans le triangle ABC rectangle en B, on considère la hauteur issue du sommet B dont le pied de la hauteur est le point H. Le segment [BH] est perpendiculaire au côté [AC] tel que AH = x et HC = y. On se propose dans cet exercice de calculer la longueur BH et plus précisément de déterminer une expression littérale de la longueur BH en fonction des nombres x et y.
1) Exprimer BH² en fonction de x et AB². Justifier la réponse.
2) Exprimer BH² en fonction de y et BC². Justifier la réponse.
3) En déduire une expression de 2BH².
4) Exprimer AB² + BC² en fonction de x et y.
5) Conclure et donner une expression littérale de BH en fonction de x et de y.
1 Réponse
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1. Réponse Mozi
Bonjour,
1) Le triangle ABH est rectangle en H. D'après le th. de Pythagore, on a
BH² = AB² - AH² = AB² - x²
2) de la même façon et avec le triangle BCH, on montre que
BH² = BC² - y²
3) Par conséquent 2 BH² = AB² + BC² - x² - y²
4) Puisque ABC est rectangle en B et d'après le th. de Pythagore, on a
AB² + BC² = AC² = (AH + HC)² = (x + y)² = x² + 2xy + y²
5) On en de2duit que 2 BH² = x² + 2xy + y² - x² - y² = 2xy
Ou encore BH² = xy
Soit BH = √(xy)