bonjour je dois résoudre: (1/x)[tex]\leq x[/tex] je simplifie l'équation en trouvant (1+x)(1-x)[tex]\leq 0[/tex] mais je ne comprends pas car en mettant (1+x)(1

Réponse :

je dois résoudre:

(1/x) ≤ x

je "simplifie" l'équation en trouvant (1+x)(1-x)

mais je ne comprends pas car en mettant (1+x)(1-x) dans un tableau de signe, je ne trouve pas la bonne solution.

1/x ≤ x     il faut que  x ≠ 0

⇔ 1/x) - x ≤ 0

⇔ (1/x) - x²/x ≤ 0

⇔ (1 - x²)/x  ≤ 0    identité remarquable

⇔ (1 - x)(1 + x)/x ≤ 0

   x      - ∞                 - 1                   0                 1                  + ∞

1 - x                 +                      +                  +       0         -

1 + x                 -           0          +                 +                   +  

 x                    -                        -       ||         +                   +

Q                    +           0          -       ||         +       0          -

l'ensemble des solutions de l'inéquation  1/x ≤ x  est :

             S = [- 1 ; 0[U[1 ; + ∞[

Explications étape par étape :

bonjour

(1/x) ≤ x    (1)               x non nul

      l'inéquation (1) n'est pas équivalente à (1 + x)(1 - x) ≤ 0   (2)

 pour obtenir (2) tu as multiplié les 2 membres de (1) par x

 sans tenir compte du signe de x

or :

si on multiplie les deux membres d'une inéquation par un même nombre négatif il faut changer le sens

[de plus (1) n'est pas définie pour x = 0 ;  (2) l'est ]

méthode

on transpose tous les termes dans  même membre

       (1/x) - x ≤ 0

on réduit au même dénominateur les termes du 1er membre

     1/x - x²/x ≤ 0

on factorise

(1 - x²)/x ≤ 0

(1 - x)(1 + x) /x ≤ 0

et on étudie le signe du 1er membre

tableau des signes

 x      - ∞                     - 1                    0                  1                  + ∞

 x                        -                    -         0        +                  +

1 - x                     +                    +                  +        0         -

1 + x                     -        0          +                  +                   +  

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

x(x-1)(x+1)             +       0           -         ||        +         0       -

                   ////////////////                        //////////////////

S = [-1 ; 0[ U [1 ; +∞ [