Exercice 1 1. On considère la suite (un) définie par {u0= -1 {Un+1 = √3un +4 Montrer que pour tout entier naturel non nul n, 0 < un < 4.

Réponse :

La réponse en fichier joint.

Bonne journée

Explications étape par étape :

Réponse :

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Bonjour

Soit la suite définie par  : U0 = -1 et Un+1 = rac (3Un + 4)

Pour montrer que 0 < Un < 4  pour n>0 et entier

on fait un raisonnement par récurrence

Initialisation

U1 = rac( - 3 + 4) = rac 1 = 1

donc 0< U1 < 4

Hérédité

Supposons que 0 < Un < 4

alors  0 < 3Un < 12

          4 < 3Un + 4 < 16

            rac 4 < rac (3Un + 4 ) <  rac 4

            2  < rac (3Un + 4 ) < 4

soit        2  < Un+1 < 4 et donc 0  < Un+1 < 4

Donc si     0 < Un < 4  alors 0  < Un+1 < 4

donc si la propriété est vraie au rang n elle est vraie au rang n+1

L'hérédité est vérifiée

La propriété est héréditaire et vraie au rang 1 ,

elle est donc vraie pour tout n entier > 0

Conclusion : 0 < un < 4.