Pouvez-vous m'aider avec cette question s'il vous plait? ​

Bonjour / Hey,

Prenons / Let's take

[tex]\theta \in[/tex] [tex]]-\pi/2;\pi/2[[/tex]

[tex]tan(\theta)[/tex] is well defined and the function is [tex]C^1[/tex] / est bien définie et la fonction est  [tex]C^1[/tex]

Then we can use the following substitution / utilisons alors ce changement de variable

[tex]x=\tan(\theta)[/tex]

as below / comme ci dessous

[tex]dx =(1+tan^2(\theta) )d\theta \\ \\\displaystyle \int \dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}dx=\int \dfrac{1-tan^2(\theta)}{(1+tan^2(\theta))^2}(1+tan^2(\theta))d\theta\\\\=\int \dfrac{1-tan^2(\theta)}{1+tan^2(\theta)}d\theta\\\\=\int cos(2\theta)d\theta[/tex]

Then we are ready for the last question / nous voila équipé pour affronter la dernière question

[tex]tan(0)=0\\\\tan(1)=\dfrac{\pi}{4}[/tex]

[tex]\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}dx=\int_0^{\pi/4} cos(2\theta)d\theta\\\\=\dfrac1{2}*sin(\pi/2)-0\\\\=\dfrac1{2}[/tex]

Thanks / merci