Bonjour Qui peut m aider s il vous plait ​

Bonjour,

Tout d'abord, remarquons que les intégrales sont bien définies car les fonctions impliquées sont continues sur l'intervalle fermé d'integration.

a)

La fonction u qui a x associe [tex]e^x[/tex] pour x dans l'inervalle [0;1] est [tex]C^{\infty}[/tex]

[tex]u(0)=1\\\\u(1)=e\\\\du=e^xdx, dx =\dfrac{du}{u}[/tex]

Nous pouvons effectuer le changement de variable

[tex]u=e^x[/tex] dans l'integrale

[tex]\displaystyle \int_0^1 \dfrac{dx}{e^x+e^{-x}}=\int_1^e \dfrac{du}{u(u+\dfrac1{u})}} \\\\=\int_1^e \dfrac{du}{(1+u^2)}} \\\\=\arctan(e)-\arctan(1)\\\\=\arctan(e)-\dfrac{\pi}{4}[/tex]

b)

soit x réel, avec la formule du binome de Newton, nous avons

[tex]ch^2(3x)=\dfrac{e^{6x}+2+e^{-6x}}{4}\\\\=\dfrac{2ch(6x)+2}{4}\\\\=\dfrac{ch(6x)+1}{2}[/tex]

Ainsi, commme sh(0)=0

[tex]\displaystyle \int_0^{\dfrac1{3}} ch^2(3x)dx = \dfrac{1}{2*6}*sh(6*\dfrac1{3})+\dfrac1{2}*\dfrac1{3}\\\\=\dfrac{sh(2)+2}{12}[/tex]

Merci