On considère tous les triangles ABC rectangles en A tels que AB + AC = 8 cm. Soit x la longueur AB. 1.a. Exprimer AC en fonction de x. b. En déduire que x appar
Question
la longueur AB.
1.a. Exprimer AC en fonction de x.
b. En déduire que x appartient à l'intervalle [0 ; 8].
2. Déterminer en fonction de x le périmètre f(x) du triangle ABC.
3. Établir le tableau de variations de f sur [0; 8]. On admettra que, pour u(x) ≥ 0, les
fonctions u et √u ont les mêmes variations.
4. Quel triangle ABC a le plus petit périmètre ?
1 Réponse
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1. Réponse ngege83
Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour
1)a) ABC triangle ractangle en A
AB = x
AB + AC = 8 donc AC = 8 - AB soit AC = 8 - x
b ) AC>=0 soit 8-x >= 0 -x >= -8 et donc x < =8
donc 0 <= x <= 8
2) Théorème de Pythagore
BC² = AB² + AC²
BC² = x² + (8-x)²
= x² + 64 - 16x + x²
= 2x² - 16x+ 64
BC = rac (2x² - 16x - 64)
P = f'x) = AB + AC + BC
f(x) = x + 8 -x + rac (2x² - 16x + 64)
f(x) = 8 + rac (2x² - 16x + 64)
3) soit g(x) = 2x² - 16x + 64
g admet un minimum égal à32 pour x = (16) / (2*2) = 4
x
g(x) 0 4 8
64 décroiss 32 croiss 64
rac (f(x) 8 décroiss 4rac2 croiss 8
f(x) 16 décroiss 4rac2 + 8 croiss 16
4) ABC a un périmètre minimal pour x = 4
Soit AB = 4
AC = 8 - 4= 4
Le triangle ABC qui a le plus petit périmètre est le triangle rectangle isocèle, de côté d'angle droit égal à 4