A et B sont deux points distincts du plan [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. M est le milieu de [AB] Montrez que : [tex]||\vec{PM}||^2 = \frac{2(||\vec{PA}||^2 + ||\vec{
Mathématiques
MichaelS
Question
A et B sont deux points distincts du plan [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. M est le milieu de [AB]
Montrez que :
[tex]||\vec{PM}||^2 = \frac{2(||\vec{PA}||^2 + ||\vec{PB}||^2)-||\vec{AB}||^2}{4} [/tex]
Montrez que :
[tex]||\vec{PM}||^2 = \frac{2(||\vec{PA}||^2 + ||\vec{PB}||^2)-||\vec{AB}||^2}{4} [/tex]
1 Réponse
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1. Réponse slyz007
Ca peut se démontrer aussi avec le théorème d'Al-Kashi :
PM=PA+AM
M est le milieu de AB donc AM=AB/2
IIPA+AMII²=IIPA+ABII²=(PA+AB/2).(PA+AB/2)
IIPMII²=IIPAII²+PA.AB/2+1/2*AB.PA+IIABII²/4
IIPMII²=IIPAII²+IIABII²/4+PA.AB=IIPAII²+IIABII²/4-AP.AB
Théorème d'Al-KAshi :
AP.AB=1/2(IIAPII²+IIABII²-IIPBII²)
Donc :
IIPMII²=IIPAII²+IIABII²/4-1/2(IIPAII²+IIABII²-IIPBII²)
IIPMII²=IIPAII²-1/2IIPAII²+1/2IIPBII²+IIABII²/4-1/2IIABII²
IIPMII²=1/2(IIPAII²+IIPBII²)-IIABII²/4
IIPMII²=(2(IIPAII²+IIPBII²)-IIABII²)/4