Soit x un nombre r´eel tel que x > 1 . Montrer que : 2x − 1/x-1>2

Réponse :

Explications étape par étape :

Soit  f(x) =(2x-1) / (x-1)

f est une  fonction homographique (ax + b) / (cx + d)

avec ad - bc = (2)(-1) -(-1)(1)

            = -1

ad - bc < 0 donc f est décroissante sur les deux intervallles ou elle est définie

D'où le tableau de variation de f(x)

x                          - inf                          1                          +infini

(2x-1) / (x-1)               2 decrois  - inf   II  + inf  décroit      2

donc quand x >1 (2x-1) / (x-1) >2

bonjour

 si  x > 1  alors  (2x - 1)/(x - 1) > 2

on étudie le signe de la différence  (2x - 1)/(x - 1) - 2

(2x - 1)/(x - 1) - 2 = (2x - 1)/(x - 1) - 2(x - 1)/(x - 1)

                        = [(2x - 1) - 2(x - 1)] / (x - 1)

                       = (2x - 1 - 2x + 2) /(x - 1)

                       =  1 / (x - 1)

si x > 1 alors (x - 1) est strictement positif et son inverse aussi

la différence (2x - 1)/(x - 1) - 2 est positive

                       (2x - 1)/(x - 1) - 2 >0

                        (2x - 1)/(x - 1) > 2