G.S.A.A.SY DABAKH CLASSE: TL ANNÉE SCOLAIRE 2020-202 Série d'exercices : fonction logarithme Exercice 1 Résoudre dans IR les équations et inéquations suivantes

Réponse :

Exercice 1

Résoudre dans IR les équations et inéquations suivantes :

In(2x-1)= In(3x+3);

* conditions d'existence

2 x - 1 > 0  ⇔ x > 1/2

et

3 x + 3 > 0  ⇔ x > - 1

donc   x  ∈ ]1/2 ; + ∞[

ln(2 x - 1) = ln(3 x + 3)  ⇔ 2 x - 1 = 3 x + 3  (car ln(a) = ln(b) ⇔ a = b)

⇔ - 1 - 3 = x   ⇔ x = - 4 ∉ ]1/2 ; + ∞[  ⇒ l'équation n'admet pas de solution

In(x-1)+ln(x+1)= ln(x+2);

* conditions d'existence

x - 1 > 0  ⇔ x > 1

x + 1 > 0  ⇔ x > - 1

x + 2 > 0  ⇔ x > - 2

donc  x ∈ ]1 ; + ∞[

In(x-1)+ln(x+1)= ln(x+2)  ⇔ ln((x-1)*(x+1)) = ln(x+2)

⇔ e^ln((x-1)*(x+1)) = e^ln(x+2)  ⇔ (x-1)(x+1) = x + 2

⇔ x² - 1 = x + 2  ⇔ x² - x - 3 = 0

Δ = 1 + 12 = 13 > 0 ⇒ 2 racines ≠

x1 = (1 + √13)/2  ∈ ]1 ; + ∞[

x2 = (1 - √13)/2 ∉ ]1 ; + ∞[

donc l'équation admet une seule solution sur ]1 ; + ∞[

In(x-1)-In(3-x) ??  

In(1-x)-In(2x + 3) ≥ In(x-2).

* conditions d'existence

1 - x  > 0   ⇔ x < 1

2 x + 3 > 0  ⇔ x > - 3/2

x - 2 > 0  ⇔ x > 2

il est impossible de vérifier en même temps les conditions d'existence  donc l'équation n'a pas de solutions 

EX.2

Soit le polynôme f(x)= x³ - 2x²-x+2

1) Calculer f(1) puis factoriser complètement f(x)

f(1) = 1³ - 2*1² - 1 + 2 = 0   ⇒ 1 est une solution évidente

(x - 1)(a x² + b x + c) = a x³ + b x² + c x - a x² - b x - c

= a x³ + (b - a) x² + (c - b) x - c

a = 1

b-a = - 2  ⇔ b = - 2 + a = - 2 + 1 = - 1

c-b = - 1

- c = 2  ⇔ c = - 2

donc f(x) = (x - 1)(x² - x - 2)

ex.3

In(2x-1)+2ln(x + 1) = ln(x-1)

2) Résoudre dans IR l'équation (In x)³ - 2(In x)² - In x + 2 = 0 puis

l'équation f(ln(x+2)) = 0.

* condition d'existence

 x > 0  ⇔ x ∈ ]0 ; + ∞[

posons  X = ln(x)    avec  X > 0

on obtient  X³ - 2 X² - X + 2 = 0

on a déjà vu en 2.1  donc  (X - 1)(X² - X - 2) = 0   produit nul

X = 1   ⇒ ln(x) = 1   ⇔ ln(x) = lne^1  ⇔ x = e    donc  e  est  une solution de l'équation

X² - X - 2 = 0

Δ = 1+8 = 9 > 0 ⇒ 2 racines ≠

X1 = 1 + 3)/2 = 2  ⇒ ln(x) = 2  ⇔ ln(x) = lne^2  ⇔ x = e^2

X2 = 1 - 3)/2 = - 1  pas de solution

f(

Explications étape par étape :