ex4: La somme de 4 nombres rationels en progression arithmetique est 24 et leur produit est 945. Quels sont ces nombres?  ​

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonsoir,

Soit x le 1er nombre et r la raison de la suite

Les quatre nombres s'écrivent

x ; x + r ; x + 2r et x + 3r

Leur somme vaut

x + x+ r +x + 2r + x + 3r

soit 4x + 6r

Ona donc la 1ere équation :

4x + 6r = 24 soit x = 6 - 6r/4 ou encore x = 6 - 3r/2

2eme équation

x ( x+r) (x + 2r) (x+ 3r) = 945

(6-3r/2)(6-3r/2 + r)(6-3r/2 +2r)(6-3r/2 +3r)=945

(6-3r/2)(6-r/2) (6+r/2 )(6+3r/2 )=945

(6-3r/2)(6+3r/2) (6+r/2 )(6-r/2 )=945

(36 - 9r²/4)(36 - r²/4) - 945 = 0

1296 - 90r² + 9r^4/16 - 945 = 0

9r^4/16 - 90r² + 351 = 0 (E)

Equation bicarrée

On pose R = r²

(E') 9/16R² - 90R + 351 = 0

dont les solutions sont

R = 4 ou R = 156

soir r = -2 ou r = 2 ou r = 2rac39 ou r = -2rac39

Comme tu sais que x = 6 - 3r/2

tu peux calculer les valeurs de x correspondant à chaque valeur de r

Par exemple pour r = -2 tu trouves x = 6 +3= 9

Les 4 nombres sont : 9 ; 7 ; 5; 3

La somme fait bien 24 et le produit 945

Pour r = 2 tu trouves x= 3

Les 4 nombres sont alors 3 ; 5 ; 7 et 9

A toi de trouver x pour les deux autres valeurs de r