Bonsoir, pouvez-vous m’aider à un exercice de maths. Je vous remercie infiniment ;)

Réponse:

Bonjour

Explications étape par étape:

cette correction vous a t'elle été utile ?

Réponse :

h(x) = x² - ln x      définie sur ]0 ; + ∞[

1) montrer que h '(x) = (2 x² - 1)/x   pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[

h est une fonction somme  dérivable sur ]0 ; + ∞[ et sa dérivée h' est :

    h '(x) = 2 x - 1/x  = (2 x² - 1)/x

2) étudier le signe de h'(x) sur ²]0 ; + ∞[

h '(x) = (2 x² - 1)/x   or  x > 0  donc le signe de h '(x) dépend du signe de

2 x² - 1  = 2(x² - 1/2) = 2(x² - (√1/2)²) = (x + 1/√2)(x - 1/√2)  or  x + 1/√2  > 0

donc finalement le signe de h'(x) est du signe  x - 1/√2

              x     0                   1/√2              + ∞

           h '(x)              -           0          +

3) vérifier que h(1/√2) = (1+ln2)/2   et dresser le tableau de variation de h

      h(1/√2) = (1/√2)² - ln (1/√2)

                   = 1/2 - (ln 1 - ln √2)

                   = 1/2 - ln 1 + ln √2

                   = 1/2 - 0 + ln (2)^1/2

                   = 1/2 + 1/2) ln 2

                   = (1 + ln2)/2

        x   0                           1/√2                    + ∞

     h(x)     →→→→→→→→→→→(1+ln2)/2 →→→→→→→  

                  décroissante                   croissante

4) en déduire que   h(x) > 0  pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[

  puisque h(1/√2) = (1+ln2)/2 > 0  et il est le minimum de la fonction h

par conséquent;  pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[   on en déduit que h(x) > 0

Explications étape par étape :