Bonjour Priere de m aider avec cet exercice S il vous plait ​

Réponse :

Déterminer le domaine de définition, les limites aux bornes du domaine de définition en donnant les éventuels asymptotes et la dérivée des fonctions suivantes

a)  ln(2 x - 3)/(5 x + 1)

le quotient est définie  si et seulement  si  

{2 x - 3 > 0  ⇔ x > 3/2

et  { 5 x + 1  ≠ 0   ⇔ x ≠ - 1/5

donc  Df = ]3/2 ; + ∞[

maintenant on cherche les limites aux bornes du domaine

lim ln(2 x - 3)/(5 x + 1)

x → + ∞

ln(2 x - 3)/(5 x + 1) = ln(2 x - 3)/(2 x - 3)  * (2 x - 3)/(5 x + 1)

on pose  t = 2 x - 3   donc lim (2 x - 3)/(2 x - 3) = lim ln(t)/t = 0

                                           x → + ∞                        t→ + ∞

et  2 x - 3/(5 x + 1) = x(2 - 3/x)/x(5 + 1/x)  

donc lim  2 x - 3/(5 x + 1) = lim (2 - 3/x)/(5 + 1/x) = 2/5

        x → + ∞                        x → + ∞

donc par produit   lim(2 x - 3)/(5 x + 1) = 0

                              x → 0

lim (2 x - 3)/(5 x + 1) = - ∞

x → 3/2

donc on a deux asymptotes    x = 3/2   verticale  et  y = 0  axe des abscisses  (horizontale)

calculons maintenant la dérivée

la fonction quotient est dérivable sur Df  et sa dérivée est ;

(u/v)' = (u'v -v'u)/v²

u(x) = ln(2 x - 3)  ⇒ u'(x) = 2/(2 x - 3)

v(x) = 5 x + 1  ⇒ v'(x) = 5  

Q'(x) = 2(5 x + 1)/(2 x - 3) - 5ln(2 x - 3)]/(5 x + 1)²  

         = 2(5 x + 1)/(2 x - 3) - (2 x - 3)*5ln(2 x - 3)/(2 x - 3)]/(5 x + 1)²

         = 2(5 x + 1) - 5(2 x - 3)ln(2 x - 3)]/(2 x - 3)(5 x + 1)²  

Explications étape par étape :

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour,

Voici la réponse en pièce-jointe !

En espérant t'avoir aidé, n'hésite pas à poser des questions si besoin.